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空间向量知识点总结

admin2023-05-09 23:52:47教育学习

向量空间的定义

向量空间(或线性空间)是指同时满足以下条件的数学结构:


集合V内有两个特殊的元素:零向量0和其他被称为向量的元素。

V内的任意两个向量都可以作加法运算,得到一个新的向量。

V内的任意一个向量都可以和任意一个数(称为标量)作乘法运算,得到一个新的向量。

向量空间的基本性质

加法封闭性:向量空间中任意两个向量相加,结果仍在该空间内。

数乘封闭性:向量空间中任意一个向量与一个标量相乘,结果仍在该空间内。

结合律、交换律和分配律。

有限维向量空间的基

如果一个向量空间拥有一个元素个数有限的生成集,那么就称该向量空间是有限维空间。可以生成一个向量空间 V 的线性独立子集,称为这个空间的基。对于非零向量空间 V,基是“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。


向量间的线性相关与线性无关

设有向量集合{v_1,v_2,...,v_n},若存在一组不全为 0 的常数k_1,k_2,...,k_n,使得k_1v_1+k_2v_2+...+k_nv_n=0,则称向量集合是线性相关的,否则称它是线性无关的。当向量集合线性无关时,任意新增一个向量后都会使得向量集合变成线性相关的。


线性子空间

设有向量空间V,若U是V的一个非空子集,并且当任意两个向量u,v∈U和任意标量k∈R (R为实数集)时,都有ku+v∈U ,则称U是V的一个线性子空间。


基变换和坐标向量

给定一个向量空间V及其有限维子空间W,设B={b_1,b_2,...,b_m}是W的一个基,对V中任意一个向量v,都可唯一地表示为v=c_1b_1+c_2b_2+...+c_mb_m,则(c_1,c_2,...,c_m)称为向量v在基B下的坐标向量,B与另一个基B'之间的变换称为基变换。


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